匹萨的直径与价格的数据
%matplotlib inline import matplotlib.pyplot as plt def runplt(): plt.figure() plt.title(u'diameter-cost curver') plt.xlabel(u'diameter') plt.ylabel(u'cost') plt.axis([0, 25, 0, 25]) plt.grid(True) return plt plt = runplt() X = [[6], [8], [10], [14], [18]] y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]] plt.plot(X, y, 'k.') plt.show()
训练模型
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np
# 创建并拟合模型
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
print('预测一张12英寸匹萨价格：$%.2f' % model.predict(np.array([12]).reshape(-1, 1))[0])
预测一张12英寸匹萨价格：$13.68
一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系；这个线性模型所构成的空间是一个超平面（hyperplane）。
超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，如平面中的直线、空间中的平面等，总比包含它的空间少一维。
在一元线性回归中，一个维度是响应变量，另一个维度是解释变量，总共两维。因此，其超平面只有一维，就是一条线。
上述代码中sklearn.linear_model.LinearRegression类是一个估计器（estimator）。估计器依据观测值来预测结果。在scikit-learn里面，所有的估计器都带有:
- fit()
- predict()
fit()用来分析模型参数，predict()是通过fit()算出的模型参数构成的模型，对解释变量进行预测获得的值。
因为所有的估计器都有这两种方法，所有scikit-learn很容易实验不同的模型。
一元线性回归模型：
y=α+βx
一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是:
- 普通最小二乘法（ordinary least squares ）
- 线性最小二乘法（linear least squares）
首先，我们定义出拟合成本函数，然后对参数进行数理统计。
plt = runplt() plt.plot(X, y, 'k.') X2 = [[0], [10], [14], [25]] model = LinearRegression() model.fit(X, y) y2 = model.predict(X2) plt.plot(X, y, 'k.') plt.plot(X2, y2, 'g-') plt.show()
plt = runplt() plt.plot(X, y, 'k.') y3 = [14.25, 14.25, 14.25, 14.25] y4 = y2 * 0.5 + 5 model.fit(X[1:-1], y[1:-1]) y5 = model.predict(X2) plt.plot(X, y, 'k.') plt.plot(X2, y2, 'g-.') plt.plot(X2, y3, 'r-.') plt.plot(X2, y4, 'y-.') plt.plot(X2, y5, 'o-') plt.show()
成本函数（cost function）也叫损失函数（loss function），用来定义模型与观测值的误差。模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差（residuals）或训练误差（training errors）。后面我们会用模型计算测试集，那时模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差（prediction errors）或训练误差（test errors）。
模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离，如下图所示：
plt = runplt() plt.plot(X, y, 'k.') X2 = [[0], [10], [14], [25]] model = LinearRegression() model.fit(X, y) y2 = model.predict(X2) plt.plot(X, y, 'k.') plt.plot(X2, y2, 'g-') # 残差预测值 yr = model.predict(X) for idx, x in enumerate(X): plt.plot([x, x], [y[idx], yr[idx]], 'r-') plt.show()
我们可以通过残差之和最小化实现最佳拟合，也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳拟合。对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和（residual sum of squares）成本函数。就是让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化，如下所示：
其中，
import numpy as np
print('残差平方和: %.2f' % np.mean((model.predict(X) - y) ** 2))
残差平方和: 1.75
解一元线性回归的最小二乘法
通过成本函数最小化获得参数，我们先求相关系数 ββ 。按照频率论的观点，我们首先需要计算 xx 的方差和 xx 与 yy 的协方差。
方差是用来衡量样本分散程度的。如果样本全部相等，那么方差为0。方差越小，表示样本越集中，反正则样本越分散。方差计算公式如下：
Numpy里面有var方法可以直接计算方差，ddof参数是贝塞尔(无偏估计)校正系数（Bessel's correction），设置为1，可得样本方差无偏估计量。
print(np.var([6, 8, 10, 14, 18], ddof=1))
23.2
协方差表示两个变量的总体的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。如果两个变量不相关，则协方差为0，变量线性无关不表示一定没有其他相关性。协方差公式如下：
其中，
import numpy as np print(np.cov([6, 8, 10, 14, 18], [7, 9, 13, 17.5, 18])[0][1])
22.65
现在有了方差和协方差，就可以计算相关系统
算出
将前面的数据带入公式就可以求出
模型评估
前面我们用学习算法对训练集进行估计，得出了模型的参数。有些度量方法可以用来评估预测效果，我们用R方（r-squared）评估匹萨价格预测的效果。R方也叫确定系数（coefficient of determination），表示模型对现实数据拟合的程度。计算R方的方法有几种。一元线性回归中R方等于皮尔逊积矩相关系数（Pearson product moment correlation coefficient或Pearson's r）的平方。种方法计算的R方一定介于0～1之间的正数。其他计算方法，包括scikit-learn中的方法，不是用皮尔逊积矩相关系数的平方计算的，因此当模型拟合效果很差的时候R方会是负值。下面我们用scikit-learn方法来计算R方。
R方是0.6620说明测试集里面过半数的价格都可以通过模型解释。现在，让我们用scikit-learn来验证一下。LinearRegression的score方法可以计算R方：
# 测试集 X_test = [[8], [9], [11], [16], [12]] y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]] model = LinearRegression() model.fit(X, y) model.score(X_test, y_test)
0.66200528638545164
多元回归
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = [[6, 2], [8, 1], [10, 0], [14, 2], [18, 0]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
X_test = [[8, 2], [9, 0], [11, 2], [16, 2], [12, 0]]
y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]]
predictions = model.predict(X_test)
for i, prediction in enumerate(predictions):
print('Predicted: %s, Target: %s' % (prediction, y_test[i]))
print('R-squared: %.2f' % model.score(X_test, y_test))
Predicted: [ 10.06250019], Target: [11]
Predicted: [ 10.28125019], Target: [8.5]
Predicted: [ 13.09375019], Target: [15]
Predicted: [ 18.14583353], Target: [18]
Predicted: [ 13.31250019], Target: [11]
R-squared: 0.77
多项式回归
上例中，我们假设解释变量和响应变量的关系是线性的。真实情况未必如此。下面我们用多项式回归，一种特殊的多元线性回归方法，增加了指数项。现实世界中的曲线关系都是通过增加多项式实现的，其实现方式和多元线性回归类似。本例还用一个解释变量，匹萨直径。让我们用下面的数据对两种模型做个比较：
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y_train = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
X_test = [[6], [8], [11], [16]]
y_test = [[8], [12], [15], [18]]
# 建立线性回归，并用训练的模型绘图
regressor = LinearRegression()
regressor.fit(X_train, y_train)
xx = np.linspace(0, 26, 100)
yy = regressor.predict(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, 'k.')
plt.plot(xx, yy)
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'r-')
plt.show()
print(X_train)
print(X_train_quadratic)
print(X_test)
print(X_test_quadratic)
print('1 r-squared', regressor.score(X_test, y_test))
print('2 r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
[[6], [8], [10], [14], [18]]
[[ 1. 6. 36.]
[ 1. 8. 64.]
[ 1. 10. 100.]
[ 1. 14. 196.]
[ 1. 18. 324.]]
[[6], [8], [11], [16]]
[[ 1. 6. 36.]
[ 1. 8. 64.]
[ 1. 11. 121.]
[ 1. 16. 256.]]
('1 r-squared', 0.80972683246686095)
('2 r-squared', 0.86754436563450732)
plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, 'k.')
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'r-')
cubic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=3)
X_train_cubic = cubic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_cubic = cubic_featurizer.transform(X_test)
regressor_cubic = LinearRegression()
regressor_cubic.fit(X_train_cubic, y_train)
xx_cubic = cubic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_cubic.predict(xx_cubic))
plt.show()
print(X_train_cubic)
print(X_test_cubic)
print('2 r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print('3 r-squared', regressor_cubic.score(X_test_cubic, y_test))
[[ 1.00000000e+00 6.00000000e+00 3.60000000e+01 2.16000000e+02]
[ 1.00000000e+00 8.00000000e+00 6.40000000e+01 5.12000000e+02]
[ 1.00000000e+00 1.00000000e+01 1.00000000e+02 1.00000000e+03]
[ 1.00000000e+00 1.40000000e+01 1.96000000e+02 2.74400000e+03]
[ 1.00000000e+00 1.80000000e+01 3.24000000e+02 5.83200000e+03]]
[[ 1.00000000e+00 6.00000000e+00 3.60000000e+01 2.16000000e+02]
[ 1.00000000e+00 8.00000000e+00 6.40000000e+01 5.12000000e+02]
[ 1.00000000e+00 1.10000000e+01 1.21000000e+02 1.33100000e+03]
[ 1.00000000e+00 1.60000000e+01 2.56000000e+02 4.09600000e+03]]
('2 r-squared', 0.86754436563450732)
('3 r-squared', 0.83569241560369567)
plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, 'k.')
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'r-')
seventh_featurizer = PolynomialFeatures(degree=7)
X_train_seventh = seventh_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_seventh = seventh_featurizer.transform(X_test)
regressor_seventh = LinearRegression()
regressor_seventh.fit(X_train_seventh, y_train)
xx_seventh = seventh_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_seventh.predict(xx_seventh))
plt.show()
print('2 r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print('7 r-squared', regressor_seventh.score(X_test_seventh, y_test))
('2 r-squared', 0.86754436563450732)
('7 r-squared', 0.49198460568655)
可以看出，七次拟合的R方值更低，虽然其图形基本经过了所有的点。可以认为这是拟合过度（over-fitting）的情况。这种模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律，而是记忆训练集的结果，这样在测试集的测试效果就不好了。
正则化
LASSO方法会产生稀疏参数，大多数相关系数会变成0，模型只会保留一小部分特征。而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时，LASSO方法会让其中一个变量的相关系数会变成0，而岭回归是将两个系数同时缩小。
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.cross_validation import cross_val_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
data = load_boston()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data.data, data.target)
X_scaler = StandardScaler()
y_scaler = StandardScaler()
X_train = X_scaler.fit_transform(X_train)
y_train = y_scaler.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
X_test = X_scaler.transform(X_test)
y_test = y_scaler.transform(y_test.reshape(-1, 1))
regressor = SGDRegressor(loss='squared_loss',penalty="l1")
scores = cross_val_score(regressor, X_train, y_train.reshape(-1, 1), cv=5)
print('cv R', scores)
print('mean of cv R', np.mean(scores))
regressor.fit_transform(X_train, y_train)
print('Test set R', regressor.score(X_test, y_test))
('cv R', array([ 0.74761441, 0.62036841, 0.6851797 , 0.63347999, 0.79476346]))
('mean of cv R', 0.69628119572104885)
('Test set R', 0.75084948718041566)
以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。
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稳了！魔兽国服回归的3条重磅消息！官宣时间再确认！
昨天有一位朋友在大神群里分享，自己亚服账号被封号之后居然弹出了国服的封号信息对话框。
这里面让他访问的是一个国服的战网网址，com.cn和后面的zh都非常明白地表明这就是国服战网。
而他在复制这个网址并且进行登录之后，确实是网易的网址，也就是我们熟悉的停服之后国服发布的暴雪游戏产品运营到期开放退款的说明。这是一件比较奇怪的事情，因为以前都没有出现这样的情况，现在突然提示跳转到国服战网的网址，是不是说明了简体中文客户端已经开始进行更新了呢？
更新日志
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